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Dijkstra算法(单源最短路径)

2014年05月23日 基础知识 ⁄ 共 2191字 ⁄ 字号 评论 1 条 ⁄ 阅读 52 次

单源最短路径问题,即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前,必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

该性质描述为:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,k和s是这条路径上的一个中间顶点,那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离,那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s),那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

由上述性质可知,如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路,

假设存在G=<V,E>,源顶点为V0,U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离,path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i,将i加入到U中;

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V,停止。

测试数据:

ceshi1

运行结果:

ceshi2

代码实现:


/*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/

#include <iostream>
#include<stack>
#define M 100
#define N 100
using namespace std;

typedef struct node
{
 int matrix[N][M]; //邻接矩阵
 int n; //顶点数
 int e; //边数
}MGraph;

void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点
{
 int i,j,k;
 bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
 for(i=0;i<g.n;i++) //初始化
 {
 if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
 {
 dist[i]=g.matrix[v0][i];
 path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
 }
 else
 {
 dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻,则权值置为无穷大
 path[i]=-1;
 }
 visited[i]=false;
 path[v0]=v0;
 dist[v0]=0;
 }
 visited[v0]=true;
 for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次
 {
 int min=INT_MAX;
 int u;
 for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点
 {
 if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
 {
 min=dist[j];
 u=j;
 }
 }
 visited[u]=true;
 for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值
 {
 if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
 {
 dist[k]=min+g.matrix[u][k];
 path[k]=u;
 }
 }
 }
}

void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点
{
 stack<int> s;
 int u=v;
 while(v!=v0)
 {
 s.push(v);
 v=path[v];
 }
 s.push(v);
 while(!s.empty())
 {
 cout<<s.top()<<" ";
 s.pop();
 }
}

int main(int argc, char *argv[])
{
 int n,e; //表示输入的顶点数和边数
 while(cin>>n>>e&&e!=0)
 {
 int i,j;
 int s,t,w; //表示存在一条边s->t,权值为w
 MGraph g;
 int v0;
 int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
 int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
 for(i=0;i<N;i++)
 for(j=0;j<M;j++)
 g.matrix[i][j]=0;
 g.n=n;
 g.e=e;
 for(i=0;i<e;i++)
 {
 cin>>s>>t>>w;
 g.matrix[s][t]=w;
 }
 cin>>v0; //输入源顶点
 DijkstraPath(g,dist,path,v0);
 for(i=0;i<n;i++)
 {
 if(i!=v0)
 {
 showPath(path,i,v0);
 cout<<dist[i]<<endl;
 }
 }
 }
 return 0;
}

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  1. 学习是一种态度 2015年04月26日 下午10:23  @回复  Δ-49楼 回复

    哈哈

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